practica 3 : implementacion de problemas con reducciones booleanas

Objetivo: El alumno aplicará las leyes y teoremas de reducciones booleanas en la implementación de problemas.

1.-Implemente los siguientes problema:
A) cuatro sillas están colocadas en una fila:

Cada silla puede estar ocupada ("1") o desocupada ("0"). Escriba una función lógica F(A, B, C, D), que es uno si no hay sillas vacías adyacentes o si por lo menos tiene una silla ocupada adyacente.
a) Exprese la función en suma de productos estándar.
b) Exprese la función en productos de suma estándar.
c) Por medio de los teoremas minimice la función resultante.

a) Exprese la función en suma de productos estándar.

F= A'B'CD+A'BCD'+A'BCD+AB'CD+ABC'D'+ABC'D+ABCD'+ABCD

c) Por medio de los teoremas minimice la función resultante.

Reducción por medio de mapa de Karnought obtenemos minitérminos

F=AB+BC+CD  Función minimizada.

Simulación de la función minimizada y comprobando la tabla de verdad 0000 y 0011

b) Exprese la función en productos de suma estándar.

F= (A'+B'+C'+D') (A'+B'+C'+D) (A'+B'+C+D') (A'+B'+C+D) (A'+B+C'+D') (A+B'+C'+D') (A+B'+C'+D) (A+B+C'+D')

c) Por medio de los teoremas minimice la función resultante.

Tomando los ceros del mapa de Karnought anterior obtenemos.

F’=A’C’+AB’C’+B’CD’

Complementando y aplicando Morgan Obtenemos como Maxitérminos.

F= (A+C) (A’+B+C) (B+C’+D) Función minimizada.

B)Una red de conmutación tiene cuatro entradas y tres salidas. Las variables de salida A, B y C, representan el primer,segundo y tercer bit respectivamente, de un número binario, N. N es igual al número de entradas que son cero. Por ejemplo si "w=0, x=1, y=0, z=1" entonces a=0, b=1 y c=0".

a) Encontrar la función expresada en mintérminos
b)Encontrar la función expresada en maxtérminos
c)Encontrar la función reducida.

W	X	Y	Z		a	b	C
0	0	0	0		1	0	0
0	0	0	1		0	1	1
0	0	1	0		0	1	1
0	0	1	1		0	1	0
0	1	0	0		0	1	1
0	1	0	1		0	1	0
0	1	1	0		0	1	0
0	1	1	1		0	0	1
1	0	0	0		0	1	1
1	0	0	1		0	1	0
1	0	1	0		0	1	0
1	0	1	1		0	0	1
1	1	0	0		0	1	0
1	1	0	1		0	0	1
1	1	1	0		0	0	1
1	1	1	1		0	0	0

Como obtenemos tres salidas tenemos 3 funciones entonces  analizamos cada una.

1. Para a. f(a)=∑m (1).

a) Encontrar la función expresada en mintérminos tomando los 1.

f= W’X’Y’Z’

b) Encontrar la función expresada en maxtérminos tomando los 0.

f(a)= ∑M (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15).

Por medio de los teoremas básicos y los teoremas para simplificar expresiones booleanas hacemos la reducción.

1.      XY + XY’= X

F= (W+X+Y+Z’) (W+X+Y’+Z) (W+X+Y’+Z’) (W+X’+Y+Z) (W+X’+Y+Z’) (W+X’+Y’+Z) (W+X’+Y’+Z’) (W+X’+Y’+Z’) (W’+X+Y+Z’) (W’+X+Y’+Z) (W’+X+Y’+Z’) (W’+X’+Y+Z) (W’+X’+Y+Z’) (W’+X’+Y’+Z) (W’+X’+Y’+Z’)

2.      Ley asociativa.

F= (W+X+Y+Z’) (W’+X+Y+Z’) (W’+X+Y’) (W’+X’) (W+X’+Y’+Z’)

F= [(W) + ((X+Y’) X’)] [(W’) + ((X+Y’) X’)] (W+X+Y+Z’) (W’+X+Y+Z’) (W+X’+Y’+Z’)

3.      Ley distributiva.

F= (W’+Y’) (W+X’) (W’+Y’) (W’+X’) (W+X+Y+Z’) (W’+X+Y+Z’) (W+X’+Y’+Z’)

F= (Y’) (X’) ( W’+X+Y+Z’) (W+X’+Y’+Z’)

F= (X’Y’Z’) (W+X’+Y’+Z’)

F= (W’X’Y’Z’)

2. Para b. f(b)=∑m (1,2,3,4,5,6,8,9,10,12)

a) Encontrar la función expresada en mintérminos tomando los 1.

Por medio de los teoremas básicos y los teoremas para simplificar expresiones booleanas hacemos la reducción.

1.      XY + XY’= X

F= (W’X’Y’Z) + (W’X’YZ’) + (W’X’YZ) + (W’XY’Z’) + (W’XY’Z) + (W’XYZ’) + (WX’Y’Z’) + (WX’Y’Z) + (WX’YZ’) + (WXY’Z’)

2.      Ley asociativa.

F= (W’X’Z) + (W’YZ’) + (W’XY’) + (WX’Y’) + (WX’Z’) + (WY’Z’)

F= W’ (X’Z+YZ’+XY’) + W (X’Y’+X’Z’+Y’Z’)

b) Encontrar la función expresada en maxtérminos tomando los 0.

f(b)= ∑M (0,7,11,13,14,15).

Por medio de los teoremas básicos y los teoremas para simplificar expresiones booleanas hacemos la reducción.

1.      XY + XY’= X

F= (W’+X’+Y’+Z’) (W’+X’+Y’+Z) (W’+X’+Y+Z’) (W’+X+Y’+Z’) (W+X’+Y’+Z’) (W+X+Y+Z).

2.      Ley asociativa.

F= (W’+X’+Y’) (W’+X’+Z’) (W’+Y’+Z’) (X’+Y’+Z’) (W+X+Y+Z)

F= [ W’ ((Y’+Z’) (X’+Z’) (X’+Y’))] (W+X+Y+Z) (X’+Y’+Z’)

3. Para a. f(c)=∑m (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14).

a) Encontrar la función expresada en mintérminos tomando los 1.

Por medio de los teoremas básicos y los teoremas para simplificar expresiones booleanas hacemos la reducción.

1.      XY + XY’= X

F= (W’X’Y’Z) + (W’X’YZ’) + (W’XY’Z’) + (W’XYZ) + (WX’Y’Z) + (WX’YZ) + (WXY’Z) + (WXYZ’)

2.      Ley asociativa.

F= (X’Z) + (W’X’Y) + (W’XY’Z’) + (W’YZ) + (WY’Z) + (WXYZ’)

F= W’ (X’Y+XY’Z’+YZ) + [W (Y’Z+XYZ’)] + (X’Z)

A '(B 'C+BC'D'+CD)+(A(C 'D+BCD '))+(B 'D)

b) Encontrar la función expresada en maxtérminos tomando los 0.

f(c)= ∑M (0,3,5,6,9,10,12,15).

F= (W’+X’+Y’+Z’) (W’+X’+Y+Z) (W’+X+Y’+Z) (W’+X+Y+Z’) (W+X’+Y’+Z) (W+X’+Y+Z’) (W+X+Y’+Z’) (W+X+Y+Z)

Circuito simulado con los mintérminos. Comprobando la tabla de verdad  0 0 0 0.

Circuito simulado con los mintérminos. Comprobando la tabla de verdad  0 0 0 1

C) Una red de conmutación tiene cuatro entradas (A,B,C,D) y una salida Z. La salida es 1, si el dígito del código grey representado por ABCD es menor que 5. Exprese la función de salida por medio de mintérminos, maxtérminos y simplifique la función.

 

 

Tabla de verdad                                                              

Tabla de código gray menores que 5

Función minitérminos.

F= A’B’C’D’+A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BCD’

Función simplificada.

F= A'B'+A'CD'

Función maxitérminos.

F=(A+B'+C+D)(A+B'+C+D')(A+B'+C'+D')(A'+B+C+D)(A'+B+C+D')(A'+B+C'+D)(A'+B+C'+D')(A'+B'+C+D)(A'+B'+C+D')(A'+B'+C'+D)(A'+B'+C'+D')

Función simplificada.

F= A'B'+A'CD'

Simulación de función de minitérminos sin simplificar.

F= A’B’C’D’+A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BCD’

Simulación de función simplificada. F= A'B'+A'CD'

Simulación de Maxitérminos sin simplificar. F= (A+B’+C+D) (A+B’+C+D’) (A+B’+C’+D’) (A’+B+C+D) (A’+B+C+D’) (A’+B+C’+D) (A’+B+C’+D’) (A’+B’+C+D) (A’+B’+C+D’) (A’+B’+C’+D) (A’+B’+C’+D’)

Simulación de función simplificada. F= A'B'+A'CD'